(*1)                           kracht x krachtarm = last x lastarm

In figuur 1 is deze regel praktisch weergegeven. Hierbij is de berekening als volgt:

                 K x l₁ = L x l₂

Werken we deze formule uit in een getallen voorbeeld, waarbij K = gevraagd, L = 10 kg, l₁ = 2 m, l₂ = 1 m, dan is de berekening met formule 1 als volgt:

K x 2 = 10 x 1

K = (10 x 1): 2

K = 5 kgf

Figuur 1 Werking van de hefboom

Of in woorden: met een hefboom waarbij de krachtarm en de lastarm zich verhouden als 2 : 1 kun je met een kracht van 5 kgf een gewicht van 10 kg optillen. Dat is handig. En door het veranderen van de verhouding ‘krachtarm : lastarm’ kan je zelfs met minder inspanning een groter gewicht optillen.

Een andere veel voorkomende vorm van de hefboom is de wip (figuur 2). Ook hierbij geldt K x l₁ = L x l₂ . Voorbeeld: als gegeven is dat K = 100 kg, L = 25 kg, l₁ + l₂ = 5 m, wat is dan de lengte van l₁ en l₂ in geval van evenwicht? De berekening is als volgt:

K x l₁ = L x l₂

100 x l₁ = 25 x l₂

100l₁ = 25l₂ à l₁ = 0,25l₂

l₁ + l₂ = 5, substitutie van l₁ ->

0,25l₂ + l₂ = 5 -> l₂ = (5 : 1,25) = 4 m

Figuur 2 Hefboomwerking bij een wip

In de praktijk komt dit voorbeeld wel voor in de speeltuin: een kind van 25 kg kan een volwassene van 100 kg opwippen mits beide op de juiste afstand van het draaipunt van de wip gaan zitten.

Tractuurberekeningen

Bij de berekeningen in de volgende voorbeelden verwaarlozen we de wrijvingskrachten en het gewicht van de trekdraden en dergelijke. Ook gaan we er van uit dat de gebruikte klepveren een constante druk leveren.

Staartklavier

Voor een voorbeeldberekening van een toetsdruk is in figuur 3 een eenvoudige tractuur gegeven. Dit voorbeeld gaat uit van een staartklavier dat direct aan de speelklep hangt.

De speelklep wordt door een veer dicht gehouden. De kracht van deze veer moet minimaal gelijk zijn aan de gewichten die de klep open willen trekken. Dat zijn het gewicht van de klep zelf en het gewicht van de toets. Nemen we voor het gewicht van de klep 30 gram en voor het toetsgewicht 60 gram.

Figuur 3 Tractuur met staarklavier.

L . l₁ = K . l₂,

waarin l₁ : l₂ = 2 : 1

Toetsgewicht . 2 = veerdruk’ . 1

60 . 2 = veerdruk . 1             -> veerdruk’ = (2 x 60) = 120 gf

trekkracht : klepdruk = 1 : 2

trekkracht = (klepdruk : 2) = 210 : 2 = 105 gf

Op de toets grijpt de tractuur in het midden aan, terwijl de vinger de toets op het einde indrukt. Ook hiervoor geldt een hefboom met een overzet verhouding van 2 : 1. De druk die de vinger op de toets moet uitoefenen is dus de helft van de trekkracht. Deze is dus 105 : 2 = 52,5 gf (k_d). Als gevolg van deze hefboom is ook de beweging van de klep gehalveerd. Gaat de toets bijvoorbeeld 10 mm naar beneden, dan zal de speelklep zich de helft hiervan, 5 mm, openen.

Is de speelklep geopend dan kunnen we de winddruk die op de speelklep wordt uitgeoefend verwaarlozen, m.a.w. alleen de veer oefent nog druk uit op de klep uit. Berekenen we nu de toetsdruk opnieuw, dan vinden we voor de toetsdruk bij geopende speelklep een druk van 37,5 gf (k_o).

Noemen we het verloop van de toetsdruk van dichte naar geopende speelklep het touché en zetten we de gevonden waarden in een grafiek, dan krijgen ongeveer het verloop van figuur 4.

De grafiek begint met de berekende toetsdruk k_d van 52,5 gf waarbij de klep dicht is en eindigt bij k_o van 37,5 gf als de speelklep open is. Daartussen loopt de druk eerst iets op. Het aanvankelijk oplopen van de druk na het punt k_d (de 'bobbel' in de curve) is het gevolg van windturbulentie die onstaat achter de nog niet geheel geopende speelklep. Deze windturbulentie veroorzaakt een extra 'zuig'-kracht op de klep die opgeteld moet worden bij de winddruk en de veerdruk op de klep. De vorm en de hoogte van de 'bobbel' in de curve wordt bepaald door de vorm en de grootte van de cancel en van de speelklep. De hoogte van de bobbel mag volgens de voorschriften van de A.V.O.N. (*2) de 160 gram niet overschrijden. In de praktijk geeft men de speelklep daarom schuine

Figuur 4 Verloop toetsdruk bij een staartklavier.

Balansklavier

In figuur 5 is een voorbeeld gegeven van een tractuur met een balansklavier. In de tractuur is een extra wip aangebracht om de omhooggaande beweging van de toetsstaart om te zetten in een trekbeweging voor de speelklep. Ter wille van de vergelijkbaarheid is voor deze wip een overzetverhouding van 1 : 2 gekozen zodat de toetsgang en de klepopening zich in de zelfde verhouding bewegen als bij het vorige voorbeeld. Bij de berekening verwaarlozen we het gewicht van de wip.

Figuur 5 Tractuur met balansklavier

trekkracht : klepdruk = 1 : 2

trekkracht = (klepdruk : 2) = 90 : 2 = 45 gf

De wip in de tractuur halveert deze kracht nogmaals, dus (45 : 2) = 22,5 gf (k_d). De toets zelf heeft een overzetverhouding van 1 : 1, zodat de vinger op de toets de gevonden waarde moet opbrengen.

Is de speelklep eenmaal geopend, dan oefent alleen de veer een druk uit van 30 gf op de klep. Berekenen we nu de druk die de vinger op de toets moet uitoefenen, dan vinden we een druk van 7,5 gf (k_o). Zetten we de gevonden waarden voor k_d en k_o in een grafiek, dan geeft dit figuur 6.

Het drukverloop van het balansklavier begint vrijwel 'drukloos', waarna het zeer snel stijgt tot het punt k_d. In dit deel van de toetsbeweging wordt alle speling in de tractuur en de eventuele -bewust aangebrachte- vrije slag van de tractuur overwonnen tot dat de tractuur 'strak' staat bij k_d. Deze vrije slag ontbreekt bij het staartklavier omdat daarbij de toets via de tractuur direct aan de klep hangt en de tractuur dus steeds strak staat. De staarttoets heeft hierdoor een zeer direct contact met de speelklep. Na het punt k_d voelen we in de toets de weerstand van de speelklep. Deze verloopt via de turbulentie hobbel tot het punt k_o. Op dit punt hebben slechts een druk van 7,5 gf nodig om de toets naar beneden te houden. Deze zeer geringe waarde hebben we gevonden door de bij de berekeningen voor zowel het staartklavier als het balansklavier van dezelfde voorwaarden uit te gaan. Hierdoor zijn de grafieken van het toetsdruk verloop vergelijkbaar.

Opmerkelijk verschil tussen beide systemen is de benodigde kracht van de klepveer. Bij het staartklavier is dit 150 gf en bij het balansklavier 30 gf. In de praktijk zal bij het gebruik van een balansklavier een wat zwaarder veertje worden gekozen maar dat kan lichter zijn dan bij het staartklavier, immers het veertje behoeft niet het gewicht van de toets omhoog te houden.

Figuur 6 Drukverloop bij een balansklavier.

Vergelijken we het drukverloop van het staartklavier en het balansklavier, of anders gezegd de speelaard van de klavieren, dan is dit niet te beoordelen in goed of slecht. Spelers die een klavecimbel of piano gewend zijn zullen de speelaard van een balansklavier prefereren omdat het drukverloop hiervan het meest overeenkomt met de toetsaanslag van deze instrumenten. Bij zo’n tractuur kan de toets een stukje onafhankelijk van de speelklep bewegen doordat de toets niet direct aan de klep hangt. Door deze vrije slag kan men de toetsen licht aanraken zonder dat de speelklep geopend wordt. Organisten zullen veelal de voorkeur geven aan een staartklavier omdat dit systeem hen een direct tactiel-contact (drukgevoel) geeft met de speelklep.

Veerdruk

De druk die een veertje op de speelklep kan uitoefenen wordt bepaald door de lengte van de armen en het aantal windingen van het oogje. Des te meer windingen des te slapper is de veer, maar ook des te constanter is de veerdruk. Dat wil zeggen dat bij het indrukken van de veer de kracht min of meer gelijk blijft. Zou je bijvoorbeeld geen windingen nemen, of een halve slag zonder dat er een oogje ontstaat, dan heb je wel een sterke veer maar zonder constante veerdruk. Hoe verder je  zo'n veertje indrukt hoe 'zwaarder' hij gaat. Voor toepassing als klepveer in een orgel is dat niet gunstig. Het gevolg is namelijk dat hoe verder je de klaviertoets indrukt des te meer kracht er nodig is. Dat geeft een zwaar touché. Bij de berekeningen aan de tractuur zijn we er van uit gegaan dat de veerdruk constant blijft tijdens het open gaan van de klep.

De veerdruk is, naast de lengte van de armen en het aantal windingen, ook afhankelijk van de diameter van het oogje. Maak je het oogje kleiner dan wordt het veertje stugger. Maak je daarentegen de armen langer dan wordt het veertje slapper. Een te slap veertje kan je dus 'opwaarderen' door de armen wat in te korten. Bij de huisorgels die ik tegen kwam waren de armen meestal zo'n 8 tot 10 cm en het oogje 8 tot 10 mm. Verder is het materiaal van het verendraad van belang. De meest voorkomende zijn: roestvrijstaaldraad, fosforbronsdraad en messingdraad. De PBNA-bijbel (*3) geeft hiervoor o.a. de volgende materiaalconstanten:

                                                            E                             s

                                                         (kN/mm_­²)               (N/mm²)

__________________________________________________

Roestvrijstaaldraad                            170                         800

Fosfosbronsdraad                              120                         500

Messingdraad                                     100                         280

__________________________________________________

E = elasticiteitsmodules, s (sigma) = buigspanning.

De buigspanning s heeft te maken met de veerkracht van het materiaal. Het is aangegeven in Newton (*4) per mm². De tabel geeft aan dat een messingdraadje aanzienlijk dikker moet zijn dan een staaldraadje voor dezelfde veerkracht. Let op, het gaat hierbij om de oppervlakte van de draad en niet om de doorsnede. Een staaldraadje van 1 mm Ø heeft dus evenveel veerkracht als een messingdraadje van 1,7 mm Ø. De eigenschappen van fosforbronsdraad zitten hier tussenin. De elasticiteitsmodules heb je o.a. nodig bij het berekenen van het aantal windingen van een veertje. Het geeft aan dat roestvrijstaaldraad (E = 170) meer windingen toestaat dan messingdraad (E = 100) om een even sterk veertje te buigen.

Maak eerst een paar proefveren en test deze met een brievenweger. Houdt daarbij een veerarm tegen je vinger en laat de andere tegen de brievenweger drukken. Druk dan de veer net zover in als later het orgel. Lees nu de veerdruk af op de brievenweger. Om te controleren of de veerdruk constant is druk je het veertje iets meer of iets minder in. Blijft de weegschaal ongeveer hetzelfde gewicht aangeven dan is het veertje goed. Varieert het gewicht nogal neem dan wat dikker materiaal en meer windingen voor het oogje. Bij de ideale veer is de hoek tussen de veerarmen niet meer van invloed op de veerdruk.

Klavierkoppelingen

Om de speelmogelijkheden van een (huis-)orgel te vergroten worden tussen de klavieren koppelingen aangebracht. Voorwaarden voor een goede klavierkoppeling zijn dat de gekoppelde toets geheel wordt ingedrukt en dat de speelaard niet onnodig zwaar wordt. Een eenvoudige model van een klavierkoppeling wordt weergeven in figuur 7. Hierbij kan door middel van een verschuifbaar klavier een koppeling gemaakt worden tussen manuaal I en II, of tussen manuaal II en I.

De werking is als volgt: schuift de speler het bovenklavier van zich af, dan wordt bij het indrukken van een toets op dit klavier tevens een toets van het onderklavier ingedrukt. Trekt men het bovenklavier naar zich toe, dan trekt een ingedrukte toets van het onderklavier een toets van het bovenklavier met zich mee. In de middenstand wordt geen koppeling tot stand gebracht. Men bedient de koppeling door de bakstukken van het bovenklavier te verschuiven. Hiervoor moet men twee handen gebruiken zodat wordt voorkomen dat men met ingedrukte toetsen de koppeling bedient.

Figuur 7 Voorbeeld waarbij de manuaalkoppeling tot stand gebracht wordt door het verschuiven van het bovenklavier.

Figuur 8 Schematische weergave van figuur 7.

of ook:

a : b = c : d

a : l₁ = c : l₂

a : l₁ = c : l₂

a : 40 = (a + 12) : 64

40a + 480 = 64a     à a = 20

Het punt waar de koppeling op het bovenklavier aangrijpt ligt dus op 20 cm van de voorkant van de toetsen, op het onderklavier ligt het op (20 + 12) = 32 cm van de voorkant van de toetsen. In beide gevallen is dit precies op de helft van de lengte van de toetsten. Voor beide koppelingen, d.w.z. I+II en II+I, geldt het zelfde punt. Bij de constructie moet men er dus voor zorgen dat beide koppelingen zo dicht mogelijk tegen elkaar aan liggen. In de praktijk zal het bovenklavier 8 tot 12 mm naar voren en naar achteren kunnen schuiven.

Met behulp van formule 1 berekenen we de benodigde kracht bij gekoppelde klavieren, waarbij we voor de afzonderlijke klavieren een kracht van 100gf toelaten. Dit leidt dan tot:

100 . l₁ = k_x . l_b

100 . 40 = k_x . 20 à k_x = 200 gf

hierin is k_x de kracht van het gekoppelde klavier op punt x. Op het gespeelde klavier neemt men dit waar als k_t. Hiervoor geldt:

k_t . l₂ = k_x . l_d

 k_t . 64 = 200 . 32 à k_t = 100 gf

Telt men hierbij de eigen kracht van het klavier op, dan geldt voor gekoppelde klavieren een kracht van 200 gf, hetgeen gelijk is aan de som van de krachten van de afzonderlijke klavieren.

Koppelingen volgens het boekje

Oosterhof en Bouman geven in hun boek ‘Orgelbouwkunde’ drie voorbeelden van krachtberekening bij gekoppelde klavieren (blz. 136 e.v.). De uitkomsten zijn in twee gevallen lager en in een geval hoger dan de som van de kracht van de afzonderlijke klavieren. De oorzaak hiervan is dat het gekoppelde klavier niet over zijn gehele diepgang wordt meegenomen (lagere som), of  te laat wordt meegenomen (hogere som). Als het gekoppelde klavier niet over zijn volledige diepgang wordt meegenomen, zullen ook de speelkleppen van dat klavier niet geheel worden geopend, wat als gevolg zal hebben dat “het spreken van de pijpen niet geheel naar wens zal plaatsvinden” (Oosterhof en Bouman). In het geval dat het gekoppelde klavier te laat wordt meegenomen zal pas in het laatste deel van de toetsgang van het gespeelde klavier de koppeling plaatsvinden. De speelkleppen van beide klavieren zullen nu wel geheel worden geopend. Het nadeel is echter dat de benodigde kracht hoger is als de som van de afzonderlijke klavieren.

Figuur 9 Principe van de manuaalkoppeling uit Bormann's 'Heimorgelbau'.

Met behulp van formule 1 berekenen we de toetsdruk als het onderklavier ook een toets van het bovenklavier meeneemt bij een toetsdruk van 100 gf.

100 . 20 = k_k . 13  à k_k = 154 gf

Figuur 10 Maatvoering bij figuur 9.

hierin is k_k de kracht op het koppelpunt. Dit geeft op het onderklavier een toetsdruk van (k_t):

k_t . 26 = 154 . 8  à  k_t = 47 gf

Vermeerdert men deze kracht met de eigen toetsdruk van het onderklavier, dan vindt men voor de gekoppelde klavieren een kracht van 100 + 47 = 147 gf. Dit is kleiner dan de som

l_to : l₁ = l_k : l₂

10 : 26 = l_K : 8                        à l_k = 3 mm

hierin is l_k de diepgang van de ondertoets op het koppelpunt. Voor de boventoets geldt dan:

3 : 13 = l_tb : 20        à l_tb = 4,6 mm

hierin is l_tb de diepgang van de gekoppelde boventoets. Is de normale diepgang van de boventoets 10mm, dan wordt de boventoets in gekoppelde toestand slechts voor iets minder dan de helft meegenomen, m.a.w. ook de speelklep opent zich maar voor de helft. Dit zal zeker effect hebben op het spreken van de pijpen.

Pedaalkoppelingen

Om de speelmogelijkheden van het pedaalklavier te vergroten worden naast zelfstandige stemmen op het pedaal ook koppelingen naar de klavieren aangebracht. Bij een tweeklaviers orgel geeft dat de volgende mogelijkheden: Ped – Man I, Ped – Man II, Ped – Man I+II. Is er ook een klavierkoppeling aangebracht dan heeft het de voorkeur dat deze koppeling niet door de pedaalkoppeling wordt meegetrokken. Figuur 11 geeft hiervan een voorbeeld.

Krachtberekeningen bij pedaalkoppelingen zijn niet interessant. Meestal is de veer van de pedaaltoets al vele malen ‘zwaarder’ dan de kracht die nodig is om een manuaaltoets in te drukken zodat een paar honderd gram meer of minder niet zal opvallen. We laten de berekeningen hier dan ook achterwege.

Figuur 11 geeft een voorbeeld van de tractuur en koppelingen bij een huisorgel (in aanbouw). Hierin zijn alle wippen getekend die nodig zijn om de klavieren met de windladen te verbinden en koppelingen tot stand te brengen. De wippen waarbij het draaipunt door een driehoekje is weergegeven staan in spreidstand.

De wippen voor de koppelingen zijn in balkjes gemonteerd die in gleuven op en neer bewogen kunnen worden. Alle koppelingen zijn in ‘Aan’ stand getekend (hoge stand). De ‘Uit’ stand (lage stand) is door een wit vakje aangegeven. De koppeling Ped - Man I werkt onafhankelijk van de koppeling Man I – Man II. Dit wordt bereikt doordat de trekdraad a vrij door de toets op en neer kan bewegen. Om het verschil in diepgang van het pedaalklavier en de manuaalklavieren te overbruggen, zijn de wippen voor de pedaalkoppelingen in een overzet verhouding van 1 : 1,5 uitgevoerd. Bij de wippen van de koppeling  Ped – Man II zijn op de korte armen kleine stukjes lood aangebracht. Deze houden de wippen naar beneden zodat ze in rust geen druk op de tractuur uitoefenen. Bij de veel kleinere wippen van de koppeling Ped – Man I is niet nodig. In dit voorbeeld heeft de tractuur van Man I een steker naar lade I en een trekdraad (b) naar lade II. Via de trekdraad wordt een transmissie van een register op lade II (Holpijp 8 vt) bewerkstelligd.

Figuur 11 Voorbeeld van tractuur en koppelingen bij een huisorgel.

In de praktijk

In dit excerpt zijn slechts enkele voorbeelden gegeven van tractuur en koppelingen. Voor het ontwerpen van een tractuur voor het eigen (huis-)orgel is het raadzaam om de voorhanden zijnde orgelliteratuur te raadplegen. Men zal hierin echter zelden een direct toepasbaar ontwerp vinden voor de eigen specifieke situatie. Kan men uit het ene boek de tractuur en uit een ander boek een koppeling gebruiken, dan is het noodzaak het ontwerp door te rekenen op krachten en bewegingen. De in dit excerpt gegeven formules zijn daarvoor in bijna alle gevallen toereikend. De gegeven voorbeelden gaan uit van wippen waarvan de armen in het verlengde liggen van elkaar. Voor wippen waarvan de armen onder een hoek staan gelden dezelfde berekeningen. Men neemt dan voor de lengte van de arm de afstand tussen het draaipunt en het aangrijppunt.

Passen we de gegeven formules toe op het ontwerp van figuur 11. Bij dit ontwerp werd uitgegaan van bestaande klavieren (afbraak orgel). Voor de opzet van de manuaalkoppeling werd geput uit de talloze voorbeelden die Audsley geeft in zijn boek ‘The Art of Organ-Building’ (II, blz 183).Dit ontwerp gaat uit van een éénarmige wip waarvan een uiteinde rust op het uiteinde van de staart van het onderklavier. Bij de gekozen opzet schuift de koppelbalk tussen de –verlengde- bakstukken van het onderklavier op en neer om de koppeling te bedienen. Hierdoor ligt de lengte van de wip vast (fig. 12). Bij dit ontwerp is er voor gekozen om beide klavieren dezelfde diepgang te geven. Veelal kiezen orgelbouwers voor een kleinere diepgang van het tweede klavier, bijvoor beeld 8 mm terwijl het hoofdklavier bijvoorbeeld een diepgang heeft van 10 mm.

Vinden we door berekening de plaats x op de wip waar deze middels een steker de toets van het bovenklavier zover omhoog drukt dat beide klavieren een even grote slag maken.

Figuur 12 Maatvoering bij figuur 11 voor de berekening van de manuaalkoppeling.

a : 34 = b : 14         of:

14a = 34b

Het verband tussen a en b vinden we in de tekening als:

a + b = 34 + 4 = 38 cm         à b = (38 – a)

Vullen we dit in de eerste vergelijking in, dan vinden we:

14a = 34 . (38 – a)

14a = 1292 – 34a                  à a = 26,9 mm en b = (38 – 26,9) = 11,1 mm

De berekening van de kracht voor het gekoppelde klavier laten we aan de lezer.

Vuistregels

Maak de armen van wippen niet te kort. Bedenk daarbij dat het uiteinde van een wip in feite een cirkelbeweging is. Er zal dus naast een op en neergaande beweging ook altijd een heen en weergaande beweging plaatsvinden. Drukt een arm van een wip direct op een toets of op een andere wip dan merk je dit als wrijving. Een tractuur kan daardoor minder soepel functioneren.

Figuur 13 Voorbeelden van het aangrijppunt van trekdraden op wippen.

Geef trekdraden en stekers de ruimte. Op de plek waar de trekdraden en stekers aangrijpen op toetsen of wippen moet voldoende ruimte zijn voor de ‘cirkelbeweging’ die deze maken (figuur 13).

Teken de tractuur bijvoorkeur uit op ware grootte. Als wippen in spreidstand staan is een tekening op ware grootte een noodzakelijk hulpmiddel voor het overnemen van de hoek waaronder de gleuven in een wippenbalk komen. Men bedenke daarbij dat, zeker als de wippen wat langer zijn, bij een enkele graad verschil in hoek de wip vele millimeters naast de beoogde plaats uitkomt. Nauwkeurigheid is hier dus geboden.

*1 De berekening zou eigenlijk in Newton moeten plaatsvinden. Ter wille van de eenvoud worden alle

     berekeningen in dit excerpt in kg of gr uitgevoerd. Om onderscheid met gewichten te maken voegen we

     hieraan een f toe, dus kgf en gf.

*2 Algemene Voorschriften Orgelbouw Nederland

*3 Polytechnisch Zakboekje, Koninklijke PBNA BV, Arnhem 1983

*4 9,80665 N is gelijk aan 1 kgf